[Inverseur de Plouffe]
Quelques approximations de Pi
 
par Simon Plouffe
 
Voici une Grosse table d'approximations du nombre Pi, mais avant nous avons besoin de quelques explications au sujet de la mesure d'une approximation
 
Pour chaque approximation de X (ici X= Pi), 2 valeurs sont données, R1 and R2 qui donnent la mesure d'une approximation du nombre X.
 
R1 est défini comme étant la distance à X en valeur absolue de la façon suivante.
 
R1 = log(1/(| X - a |))/log(10).
 
R2 = R1/log(max(ai))*log(10) et ai est l'élément de taille maximale dans l'expression de a.
 
En d'autre mots c'est length(op(a)) en Maple. Si a=355/113, ça nous retourne : 355.
 
Donc avec Pi = 355/113 on a R1 = 6.57 et a = 355 -> R2 = 2.57
 
En termes plus pratiques, R1 donne le nombre de décimales exactes de l'approximation et R2 donne la valeur de l'approximation. Plus R2 est grand, meilleure est l'approximation. Dans notre exemple, R2 = 2.57 ce qui veut dire que la taille relative de 355 par rapport à R1 est bonne. Si R2 est petit (près de 1), alors l'approximation n'est pas bonne.
Si R2 >> 2, c'est une excellente approximation.
 
2ème exemple : Le nombre de Ramanujan exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768743.9999999999992507... nous donne une approximation de Pi qui est log(262537412640768744)/sqrt(163) = Pi à 30 décimales et R1 = 30.65 , par contre R2 est 1.759.
Donc cette approximation est moyenne. On devrait s'attendre à avoir R2 près 2 pour la plupart des approximations et trouver un R2 > 2 dans certains cas exceptionnels. De façon générale, avec développement en fraction continuée de X, un réel : si on tronque n'importe ou on trouve un R2 qui est proche de 2.
 

Approximation de Pi

Expression

R1

R2

Commentaire - (auteur)
3.14159265358979323846264338327972661934754988088

log(262537412640768744)/sqrt(163)

30.65

1.759

(S. Ramanujan)

3.14159292035398230088495575221238938053097345132

355/113

6.573

2.577

Une très bonne approximation rationelle

3.14159265358979323232482478168718522102495836130

3+1/8+1/61+1/5020+1/128541455

17.11

1.324

Développement en fractions égyptiennes

3.14285714285714285714285714285714285714285714286

22/7

2.898

0.937

L'une des 2 valeurs données par Archimède

3.14159265297229778439562243903476832945058472332

log(5280)/sqrt(67/9)

9.209

2.474

(S. Plouffe 1988)

3.14159434945008183015994893408428386595324120871

log(2198)/sqrt(6)

5.770

1.726

(S. Plouffe 1988)

3.14153985278295351258699144235404432987724178693

43^(7/23)

4.277

1.137

(S. Plouffe 1988)

3.14159265350877192982456140350877192982456140351

3+1/8+1/(8*8)+1/(8*8*17)+ 1/(8*8*17*19)+ 1/(8*8*17*19*300)

10.091

0.723

Développement en produit égyptien (S. Plouffe 1988 )

3.14159265359494408765142414297178409903697305215

log(60318/13387)*48/23

11.288

2.361

(S. Plouffe 1988)

3.14159267809890117154750857021071215173157249665

(13/4)^(1181/1216)

7.610

2.467

(S. Plouffe 1988)

3.14159265358677810789019357753871093140928997070

(228+16/1329)^(1/41) + 2

11.520

2.101

(S. Plouffe 1988)

3.14159265358979323846264920145525604153046519371

( 276694819753963/226588)^(1/158) + 2

23.235

1.608

(S. Plouffe 1988)

3.14159265349255372811271549779505742798109245613

(63023/30510)**(1/3)+1/4+1/2*(sqrt(5)+1)

10.012

2.086

(S. Plouffe 1988)

3.14163154625920525451599912710309835110117456654

log(20+Pi)

4.410

3.389

Cette approximation vient de exp(Pi)-Pi=20 (auteur=?)

3.14159259508835562119429079295031986122206920605

689/396/ln(689/396)

7.232

2.548

(S. Plouffe 1988)

3.14159265258264612520603717964402237155787798317

(2143/22)^(1/4)

8.996

2.7009

(S. Ramanujan)

3.14159265359120552148305839712274875168668714821

log(28102/1277)*125/123

11.850

2.664

(S. Plouffe 1988)