l'Inverseur de Plouffe

 

À propos du serveur

 

La première table mathématique de constantes est probablement très vieille mais nous pourrions dire que ce qui s'y rapproche le plus et ressemble à ce que nous faisons est la table de Potter et Robinson (1971). C'était la première collection de constantes mathématiques triées par ordre numérique. J'ai commencé à collectionner des constantes en mars 1986. Je rassemblais des articles de Mathematics of Computation et transcrivais patiemment les nombres dans une base de données sur ordinateur, j'en faisais quelques milliers par jour. J'ai entré toutes les tables que je pouvais trouver à ce moment-là. Mon but était de faire une table de réels aussi complète que possible afin d'entreprendre quelques expériences avec les nombres. J'ai persévéré pendant environ 2 années, et alors j'ai communiqué avec Walter Gautschi et Daniel Shanks, éditeurs des Unpublished Mathematical Tables ou UMT. Je me suis rendu compte alors que la plupart de ces tables sur micro-fiches pouvaient en fait être produites avec un micro-ordinateur et qu'il aurait été difficile d'automatiser la tâche de les présenter dans la base de données. Ainsi, j'ai commencé à produire de mes propres tables de nombres réels et à rassembler autant d'articles que je pouvais trouver sur ce sujet. En 1989, j'ai obtenu une copie du livre de Jonathan et de Peter Borwein : A Dictionary of Real Numbers . J'étais vraiment encouragé par mes efforts et étais étonné d'apprendre que je n'étais pas le seul qui était intéressé par la question d'identifier un nombre réel. À ce moment-là, j'avais à peu près la même quantité de constantes mais sur disque et il me semblait plus profitable de les mettre sur ordinateur que sur papier, même si un tel livre est pour moi très intéressant.

 

J'ai continué à rassembler des nombres jusqu'à ce que le projet de Encyclopedia of Integer Sequences intervienne. Ceci occupa la majeure partie de mon temps, et le livre fut publié enfin après 4 ans de travail avec Neil J.A. Sloane. chez Academic Press en 1995. Inutile de dire que ce fut une expérience fantastique. Nous (avec l'aide de François Bergeron de l'Université du Québec à Montréal, Bruno Salvy et Paul Zimmermann, tous les deux à INRIA en France), avons créé le programme : GFUN, un programme de la librairie Share de MapleV. qui servait à manipuler les séries et faire des opérations sur les séries. Leurs contributions furent cruciale - ils ont écrit la majeure partie de la version finale. Ce programme peut (entres autres),deviner une fonction génératrice si on connait les quelques termes d'une suite de nombres en utilisant un algorithme de Padé/Cabay/Choi/Geddes pour les fractions rationnelles (voir le ' convert/ratpoly ' dans MapleV et Journal of Experimental Mathematics, du vol. 1, du #3 (1992)). Ce programme même (et beaucoup d'autres par Neil Sloane et ses collègues) est utilisé actuellement dans le serveur de suites aux laboratoires de Bell ou ATT Research Labs (voir Electronic Journal of Combinatorics vol. 1, # 1). Voir aussi ma page maison pour une revue du livre par Jon Borwein et Robert Corless.

 

Tout ceci créa un besoin, d'aller de l'autre côté de la palissade : Les Nombres Réels. La question est simple: Si nous tapons quelques termes d'une suite et qu'en utilisant un bon algorithme et une certaine heuristique, on puisse deviner ce qu'est la fonction génératrice qui les produit alors, ne pourrait-on pas par cette méthode faire la même chose avec les réels ?, c.-à-d., d'une chaîne de caractères, des chiffres, pouvons nous deviner d'où le nombre vient ? Cette idée moulinait dans la tête de Peter et Jon Borwein depuis longtemps, et quand nous nous rencontrâmes (par courrier d'abord, tout à fait par accident, voir Addition Theorems and Binary Expansions ), et en personne en janvier 1995, on s'est vite rendu compte qu'il serait très utile d'avoir un système qui pourrait répondre à ce problème inverse. Nous en sommes vites venus à une idée simple : Une calculatrice géante avec un affichage très grand et UN seul bouton. Le bouton ne ferait seulement qu'une chose, de quoi le nombre est-il fait ?

 

Ceci a créé le ISC, la calculatrice symbolique inverse qui fut ouverte le juillet 18 1995. Le succès fut presque immédiat. L'ISC a obtenu beaucoup de récompenses internet et quelques articles furent publiés, en voici quelques uns.

 

Au sujet de l'Encyclopedia of Integer Sequences et le programme GFUN.

Une question de nombres, American Scientist, par Brian Hayes.

Voir aussi la revue du livre de Jon Borwein et Rob Corless.

 

À propos de Pi.

Une passion pour pi, Ivars Peterson, Mathland.

Pick a digit, any digit, Ivars Peterson, MathTrek

Obsession de Pi, article de Pour la Science de Jean-Paul Delahaye.

 

Associé au ISC et maintenant l'Inverseur de Plouffe

Du Nombre à la Formule, Ivars Peterson/Mathland.

Pour la Science, (L'inverseur de Plouffe), un article de Jean-Paul Delahaye, juillet 1998

 

Tous ces articles et beaucoup d'autres peuvent être lus en PDF à partir de ma page maison.

 

Durant l'été 1995, Adam van Tuyl a conçu la première version de l'interface et Paul Irvine (CECM) en 1996, a contribué grandement à faire que l'interface soit conviviale et rapide, tous les deux avaient pleins d'astuces et de bons trucs dignes des meilleurs programmeurs. L'équipe de recherche du CECM à l'Université Simon Fraser incluant Loki Jorgenson, Jon et Peter Borwein a grandement encouragé et supporté financièrement le projet cette période (de juillet 1995 à mars 1998).

 

Maintenant la suite de l'ISC s'appelle l'Inverseur de Plouffe et a une nouvelle adresse.

 

La base de données

 

La base de données est une collection de quelques 400 tables qui ont de 50 à 11,000,000 d'entrées. Au total il y a 75.6 millions d'entrées (en date du 11 juillet 1998). Les entrées de nombre entiers (environ 3 millions) et de la base de données des chiffres des constantes. En résumé nous avons ceci:

 

Nombres Réels : 72.6 millions d'entrées + 3 million / 5.1 gigaoctets.

Décimales des constantes, 1,5 gigaoctets comprenant les derniers records de calcul.

Entiers : environ 3 million d'entrées.

 

Algorithmes

 

Il y a 4 fonctions pricipales : Recherche, Recherche approfondie, développements généralisés et les algorithmes de type LLL ou "Integer Relations".

 

La fonction recherche est simplement une interrogation dans la base de données, en fait si vous entrez un numéro de téléphone de 7 (ou même 8) chiffres, le serveur vous retournera fort probablement une expression mathématique assez courte qui décrira (en développement décimal) votre numéro.

 

La fonction "recherche avancée" est comme la recherche mais avant, on effectue 141 variations simples autour de K, si K est la constante, on calcule alors, sin(K), 1/K, exp(K), log(K), etc. et ensuite une recherhce est effectuée sur chaque résultat. C'est bête mais très efficace.

 

Les développements généralisés est une collection de 15 algorithmes qui prennent un réel et qui en font une suite d'entiers. Par exemple avec les fractions continues, on obtient ceci.

 

Les algorithmes de type LLL ou "Integer Relations" est un ensemble de 9 tests effectués avec ce qui est appelé les algorithmes LLL ou "lattice algorithms". Ces programmes spécialisés sont capables de détecter une relation linéaire à coefficients rationnels entre plusieurs constantes. On peut répondre facilement à la question de savoir si K , est un multiple de Pi, E, gamma ou si K est algébrique (jusqu'au degré 5) avec des coefficients simples.